Seminar - Matematika u arhitekturi
   
Početna
Keopsova piramida
Gate of Europe
Loretto stepenice
Stonehenge
Taj Mahal
Villa Stein
Pentagon
Colosseum
 

 

Uvod:

Matematika i arhitektura su uvijek bile bliske, ne samo zbog toga što arhitektura ovisi o razvoju matematike i njenim otkrićima, već i zbog njihove zajedničke težnje redu i ljepoti, forme neke građevine u prirodi, odnosno forme u konstrukciji. Matematika je neophodna za shvaćanje strukturalnog koncepta građevina. Također je potrebita kod vizualnog uređivanja elemenata ili kao 'alat' za postizanje harmonije u prirodi ali i sa svemirom. Tu geometrija postaje vodeći princip.

Primjerice, u grčkoj arhitekturi, kao mjerilo za planiranje, služio je zlatni rez. Teorija zlatnog reza započeta je još u antici, a svoj procvat imala je u renesansi, kada su umjetnici i matematičari (ali i fizičari i astrolozi) tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura. Nakon mnogo stoljeća teorije smatra se da je zlatni rez najsavršeniji rez u prirodi, potpuno savršen ljudskom oku, harmonija između izrazite preciznosti i kaotične nesavršenosti. Najraniji zapis o zlatnom rezu seže čak iz 300. godine prije Krista, kada je Euklid opisao metodu geometrijskih konstrukcija u Knjizi 6, propozicija 30 u njegovoj knjizi Elemenata. Zlatni rez je kompozicijski zakon u kojem se manji dio odnosi prema većem kao veći dio prema ukupnom. U praksi, ako želimo podijeliti nešto na taj način, podijelimo ga na 13 jednakih dijelova i onda to podijelimo u omjeru 8:5, ili ga pak podijelimo na 21 jednaki dio pa to onda u omjeru 13:8, itd. Na što se više dijelova podjeli, to smo bliži točnom zlatnom rezu, no do točnog zlatnog reza nikada se ne dolazi jer je taj broj zapravo aproksimacija, a matematička formula glasi mu:

Smatra se da su zlatni rez koristili starogrčki arhitekti u konstrukciji Parthenona i mnogih drugih Grčkih građevina, kao i skulptura, kompozicija slika itd.

Kada govorimo o proporcijama, nešto može biti malo, veliko ili skladno. Npr. građevine rađene za čovjeka, po nekim ljudskim mjerama, grobni humak je minijaturan, egipatske piramide su hiperdimenzionirane, a grčki hram je skladan. Grci su gradili skladnu arhitekturu jer su za mjerenje koristili zlatni rez, te mjere preuzete iz veličine dijelova ljudskog tijela po kojima su i nazvane: palac – dlan – pedalj – lakat – ruka – korak itd. (Utjelovljenje krilatice: ČOVJEK JE MJERILO SVIH STVARI!) Zato, kad pogledamo grčku arhitekturu, u svim tim širinama i dužinama, mi nesvjesno vidimo nešto što nam je "slično" i zato nam se to sviđa. Primjenjujući ljudske mjere (antropometričke, prema grčkom antropos = čovjek) i omjere ili rabeći ih suprotno, može se svjesno i namjerno sagraditi građevina u kojoj ćemo se osjećati dobro i ugodno, ili u kojoj ćemo se osjećati "malenima" ili "izgubljenima". Upravo takav je odnos grčkog hrama ili renesansnog ljetnikovca, naspram egipatskom hramu ili, recimo, suvremenom muzeju žrtava holokausta u Berlinu.

Arhitektura je umjetnost oblikovanja prostora volumenom. Ona je likovna umjetnost koja ima praktičnu namjenu – zaštita od prirodnih nepogoda (kiša, vjetar, snijeg …), hladnoće ili vreline. Građevina izvana tvori volumen (kao skulptura), dakle ima raspored i odnos masa, odnos punog i praznog, zatvorenog i otvorenog, svojstva građe, osobitosti obrade površina, obojenost itd. Uz tri dimenzije – širinu, visinu i dubinu, arhitektura uključuje i četvrtu dimenziju – vrijeme, tj. kretanje potrebno da se arhitektura "doživi" sa svih strana, iznutra i izvana! Osobit je i prostor unutrašnjosti arhitekture koji je potrebno promatrati neodvojeno od vanjskog omotača.


 

  Filippo Brunelleschi je bio talijanski arhitekt i kipar . On je prvi arhitekt renesanse i prvi umjetnik koji je znanstveno pojasnio i opisao linearnu perspektivu. Po njemu je renesansna građevina - kutija koja se mora lako konstruirati, pa su geometrijske i matematičke vrijednosti vrlo jednostavne i do njih se dolazi jednostavnim izračunavanjem. Iz želje za jednostavnošću od svodova se koristi samo bačvasti, te polukružni luk, a nekada se svodovi potpuno odbacuju i zamjenjuju ravnom stropom od drveta pa zidovi mogu biti tanji i ekonomičniji. Ovi stropovi su ponekada jednostavno kasetirane (ravni strop skromno podijeljen, iskasetiran, u kvadrate). Cijelo rješenje osnove renesansne građevine uvijek podliježe zakonu simetrije koja je u arhitekturi renesanse služila kao osnovni princip.

Proporcije

Već od antičkih vremena kipari i slikari tajnu "lijepe estetike" željeli su objasniti uz pomoć matematičkih odnosa. U tome je prednjačio starorimski arhitekt Vitruvije iz čijeg je univerzalnog djela O arhitekturi Leonardo učio o proporcijama ljudskog tijela. Čitajući Vitruvijevo djelo otkrivamo sljedeće proporcije:

  • dlan je širine 4 prsta,
  • stopalo je širine 4 dlana,
  • lakat je širine 6 dlanova,
  • visina muškarca je 4 lakta (odnosno 24 dlana),
  • korak je 4 lakta,
  • duljina raširenih muških ruku jednaka je njegovoj visini,
  • udaljenost od linije kose do brade je 1/10 visine muškarca,
  • udaljenost od vrha galve do brade je 1/8 visine mušarca,
  • maksimalna širina ramena je 1/4 visine muškarca,
  • udaljenost od lakta do vrška ruke je 1/5 visine muškarca,
  • udaljenost od lakta do pazušja je 1/8 visine muškarca,
  • duljina ruke je 1/10 visine muškarca,
  • udaljenost od brade do nosa je 1/3 duljine glave,
  • udaljenost od linije kose do obrva je 1/3 duljine lica,
  • duljina uha je 1/3 duljine lica.

Kao rezultat, 1492. godine nastao je poznati Leonardov crtež Vitruvijev čovjek, upotpunjen bilješkama. Na njemu je zorno prikazan lik golog muškarca s ispruženim rukama u dvije pozicije, upisan istodobno u krug i kvadrat. Crtež i tekst ponekad se zovu zakon proporcija ili, rjeđe, proporcije čovjeka.

Ovj crtež pruža savršen primjer Leonardova interesa za problematiku proporcija, a prezentira i temelj Leonardovih pokušaja povezivanja čovjeka i prirode. To je bila znanstvena analiza koja je imala kozmološki značaj (povezanost čovjeka i svemira) i umjetnički značaj (pravilna reprezentacija ljudskog tijela i stvaranje arhitekture temeljene na proporcijama ljudskog tijela). Neki znanstvenici vjeruju da kvadrat na Leonardovu crtežu simbolizira materijalnu egzistenciju, a krug duhovnu.

Leonardo svojim crtežom očito ilustrira Vitruvijevo djelo O arhitekturi koje objašjava:

"Pupak je prirodno smješten u centar ljudskog tijela, i ako muškarac leži licem okrenutim frontalno, a ruke i noge raširene, od pupka kao centar, upisan u krug, ono dodiruje njegove prste ruku i nogu. No, nije samo da je ljudsko tijelo opisano krugom, što se može vidjeti smještajući ga u kvadrat. Za mjerenje od stopala do vrha glave, a zatim preko raširenih ruku, vidimo da su te dvije duljine jednake; pa linije u pravim kutovima jedno od drugoga, okružujući tijelo, tvore kvadrat."

 

 

 

 

   
 
 

Matej Sošić

Jelena Pelajić

Armin Čehajić