\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}

\usepackage{graphicx}
\begin{document}
\noindent
 \shadowbox{\textbf{1. zadatak}}\\          
Konstruirati DKA koji prepoznaje jezik
\[ L=\lbrace w\in(a+b)^* \text{ : } |w|_a \text{ je paran, } |w|_b\geq 2\rbrace\]
\textbf{Rješenje:}\\
Stavimo $L_1=\lbrace w\in(a+b)^* \text{ : } |w|_a \text{ je paran}\rbrace$ i $L_2=\lbrace w\in(a+b)^* \text{ : } |w|_b\geq 2\rbrace$. Konstruirajmo sada automate za $L_1$ i $L_2$:\\

\begin{center}\includegraphics{automat1.1}\end{center}
\noindent
Sada koristeći formulu prijelaza za presjek
\[ \delta_L(XY,u)=\delta_{L_1}(X,u)\delta_{L_2}(Y,u)\text{, }(X,Y)\in Q_{L_1}×Q_{L_2}\]
i ostalih pravila za presjek DKA, dobivamo DKA za $L$:\\
\begin{center}\includegraphics{automat2.1}\end{center}
 \shadowbox{\textbf{2. zadatak}}\\
Izvesti skupovne jednadžbe i regularni izraz koji opisuje jezik $L$ iz prethodnog zadatka.\\
\textbf{Rješenje:}\\
Skupovne jednadžbe su
\begin{align}
AC&=aBC+bAD,\\
AD&=aBD+bAE,\\
AE&=aBE+bAE,\\
BC&=aAC+bBD,\\
BD&=aAD+bBE,\\
BE&=aAE+bBE+\varepsilon .
\end{align}
Iz (5) dobivamo $BE=b^*(AE+\varepsilon)$ i uvrštavanjem u (3) i (5) dobivamo
\begin{align*}
AC&=aBC+bAD,\\
AD&=aBD+bAE,\\
AE&=(ab^*a+b)AE+ab^*,\\
BC&=aAC+bBD,\\
BD&=b^*aAE+b^+.
\end{align*}
Daljnjim sređivanjem dobivamo
\begin{align*}
AC&=aaAC+ab^+a(ab^*a+b)^*ab^*+b(ab^*a+b)^+ab^*\\
&=aaAC+(ab^+a+bab^*a+bb)(ab^*a+b)^*ab^*
\end{align*}

\[ \Longrightarrow AC=(aa)^*(ab^+a+bab^*a+bb)(ab^*a+b)^*ab^*.\] \\
\noindent
 \shadowbox{\textbf{3. zadatak}}\\
Dokazati jednakost regularnih izraza
\[ (a^*b^++a^+b^*)^*=(a+b)^*\]
\textbf{Rješenje:}
Očito je $(a^*b^++a^+b^*)^*\subseteq (a+b)^*$
Dalje imamo
\[ a\subseteq a^+b^*\text{, }b\subseteq a^*b^+\Longrightarrow a+b\subseteq a^*b^++a^+b^* \Longrightarrow (a+b)^*\subseteq (a^*b^++a^+b^*)^*\] \\

\noindent
\shadowbox{\textbf{8. zadatak iz neoriginalnog dijela}}\\
\begin{itemize}
\item
Jezik binarnih nizova koji sadrži podstring $001$: 
\[ (0+1)^*001(0+1)^*\]
\item
Jezik binarnih nizova parne duljine sa najviše 2 uzastopne jedinice:
\[ (00+01+10)^*\]
\item
Jezik standardnih zapisa cijelih brojeva (npr. -2, 0, 34... je ok, ali ne i -0, -, -04, 0213...)
\[ (-+\varepsilon)B(A+B)^*\]
za $A=\{ 0\}$ i $B=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.\\
\end{itemize}
\begin{flushright}
Pavle Crnković
\end{flushright}
\end{document}