\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{latexsym}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{graphicx}

\title{3. Zada\'{c}a iz MTR-a}
\author{Toni Grossi}
\date{13.05.2008}

\begin{document}
\noindent\textbf{1. Zadatak} Da li je jezik $L=\big\{1^{2^{n}} : n
\geq 0 \big\}$ regularan?

\noindent\textbf{Rje\v{s}enje:}

Pretpostavimo da je jezik regularan. Tada zadovoljava lemu o
pumpanju za regularne jezike. Neka je $n \in \mathbb{N}$ kao u lemi
o pumpanju i neka je $\omega \in L, |w|=2^{n}$. Budu\v{c}i je
$|\omega|=2^{n} \geq n, \forall n \in \mathbb{N}$, ostaje provjeriti
pumpanje tj. tra\v{z}imo $x,y,z$ t.d. je $\omega = xyz$ i
\begin{eqnarray*}
  |y| &>& 0 \\
  |xy| &\leq& n \\
  \forall i \in \mathbb{N} &\Rightarrow& xy^{i}z \in L
\end{eqnarray*}

Odaberimo $x,y$ i $z$ proizvoljno. Tada je $|xyz| = 2^{n}$, no sada
radi uvjeta $|xy| \leq n$, najbolje \v{s}to mo\v{z}emo odabrati za
$y$ je $|y|=n$. No tada za prvi korak pumpanja imamo:
$$|xy^2z|=|xyz|+|y| \leq 2^{n}+n < 2^{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}$$
drugim rije\v{c}ima, $xy^{2}z \notin L$.

Jezik nije regularan jer ne zadovoljava lemu o pumpanju za regularne
jezike.
\begin{flushright} $Q.E.D$ \end{flushright}

\noindent\textbf{2. Zadatak} Neka je $K=\big\{ \omega \in (a+b)^{2n}
 :  |\omega |_{a} = |\omega |_{b}, n \in \mathbb{N} \big\}$, i neka
 je $L=\big\{ \omega c^{*}d^{m}e^{o} : \omega \in K, m \geq 1, o \geq 1, m \neq o
 \big\}$. Konstruirajte PDA koji prepoznaje jezik L i prihva\'{c}a
 ulaz zavr\v{s}nim stanjem.

\noindent\textbf{Rje\v{s}enje:}

Skicirajmo rje\v{s}enje:
    \begin{figure}[h]
    \vspace{-0.1cm}
    \begin{center}
    \includegraphics[width=1.0\textwidth]{PDA.eps}
    \end{center}
    \vspace{-0.1cm}
    \end{figure}

Sada napravimo formalni zapis PDA uz obja\v{s}njenja:

\noindent \\ Stanje $q_{0}$ se brine za to da $|\omega |_{a}= |\omega |_{b}$ \\ $<q_{0},a,S,q_{0},aS>$ \\
$<q_{0},a,a,q_{0},aa>$ \\
$<q_{0},a,b,q_{0},\epsilon>$ \\
$<q_{0},b,S,q_{0},bS>$ \\
$<q_{0},b,b,q_{0},bb>$ \\
$<q_{0},b,a,q_{0},\epsilon>$ \\
$<q_{0},c,S,q_{1},S>$ \dots ukoliko je stog prazan, prebrojavamo $c$\\
$<q_{0},d,S,q_{2},dS>$ \dots ali mo\v{z}e biti i bez $c$ jer imamo
$c^{*}$\\ \\
Stanje $q_{1}$ preborojava $c$-ove i ukoliko o\v{c}ita $d$, prelazi u stanje $q_{2}$ \\
$<q_{1},c,S,q_{1},S>$ \\
$<q_{1},d,S,q_{2},dS>$ \\ \\
Stanje $q_{2}$ prebrojava $d$-ove stavljaju\'{c}i ih na stog \\
$<q_{2},d,d,q_{2},dd>$ \\
$<q_{2},e,d,q_{3},\epsilon>$ \\ \\
Stanje $q_{3}$ prebrojava $e$-ove bri\v{s}u\'{c}i $d$-ove sa stoga \\
$<q_{3},e,d,q_{3},\epsilon>$ \\
$<q_{3},\epsilon ,d,q_{4},\epsilon>$ \dots \v{c}itanjem $e$-ova dodjemo do $\epsilon$ zna\'{c}i da ima vi\v{s}e $d$-ova\\
$<q_{3},e,S,q_{5},S>$ \dots \v{c}itanjem $e$-ova dodjemo do S zna\'{c}i da ima vi\v{s}e $e$-ova\\ \\
Stanje $q_{4}$ je zavr\v{s}no i ozna\v{c}ava da imamo vi\v{s}e $d$-ova $(m>o)$ \\
$<q_{4},\epsilon ,d,q_{4}, \epsilon>$ \\ \\
Stanje $q_{5}$ je zavr\v{s}no i ozna\v{c}ava da imamo vi\v{s}e $e$-ova $(m<o)$ \\
$<q_{5},e,S,q_{5},S>$ \\ \\
\begin{flushright} $Q.E.D$ \end{flushright}

\noindent\textbf{3. Zadatak} Konstruirajte Turingov stroj koji
provjerava da li je rije\v{c} nad abecedom $\sum = \big\{0,1
\big\}$ palindrom. Pretpostavimo na se glava TS nalazi na skroz
desnom slovu rije\'{c}i te da je rije\v{c} "ograni\v{c}ena"
praznim znakovima.

\noindent\textbf{Rje\v{s}enje:}

Primjetimo da rije\v{c} mo\v{z}e biti prazna, sadr\v{z}avati samo
jedan znak abecede ili uistinu biti palindrom.

Opis rada Turingovog stroja: Ideja rada stroja bazira se na tome da
se pro\v{c}ita jedan znak sa ruba trake, obri\v{s}e se, i zapamti
koji znak je o\v{c}itan, te se po traci pomaknemo do drugog kraja
trake. Ukoliko je o\v{c}itan isti znak, znak se bri\v{s}e i postupak
se nastavlja ispo\v{c}etka. Ukoliko u i jednom od prethodno opisanih
koraka stroj o\v{c}ita ne\v{s}to \v{s}to jezik ne predvidja, stroj
prelazi u stanje $q_{2}$ koje ima ulogu "ko\v{s}a za sme\'{c}e" i
stroj staje.

\begin{figure}[t]
    \vspace{-0.1cm}
    \begin{center}
    \includegraphics[width=1.0\textwidth]{TM.eps}
    \end{center}
    \vspace{-0.1cm}
    \end{figure}

Stanje $q_{0}$ je zavr\v{s}no stanje jer stroj mora prihva\'{c}ati i
praznu traku.
\begin{flushright} $Q.E.D$ \end{flushright}

\end{document}
