\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{epsfig}

\begin{document}{

\Large{
(20) \textbf{zadatak $1$\ } }\\

\medskip
Da li je dani jezik  L regularan?\\
$L:=\{ w \in (0+1)^{+} ~ : ~ |w|_{0} = t  |w|_{1} , ~ t \in < 7, 15> , ~ t \in \mathbb{N} \}$\\

\bigskip
\underline{Rj:}\\

Pretp. da je L regularan. Tada $\exists p \in \mathbb{N} \textrm{ td } \forall w\in L , |w|>p
\Rightarrow ~ w=xyz \textrm{ td }$
\begin{enumerate}
\item $\forall i>0 ~ xy^{i}z \in L$
\item $|y|>0$
\item $|xy|<p$
\end{enumerate}
Uzmimo $w=0^{tp}1^{p} \in L, ~ t\in <7,15>, ~ t\in \mathbb{N}, ~ \textrm{BSO } t=8$ \\
\qquad $w$ \ldots \ldots \qquad $\underbrace{0,\ldots, 0}_{8p}\underbrace{1,\ldots, 1}_{p}$\\
Obzirom da je $|xy|<p ~ \Rightarrow ~ y $ se sastoji isklju\v{c}ivo od $0$ \\
  $\Rightarrow $ pumpanjem izlazimo iz jezika $L$ \qquad $\Rightarrow \Leftarrow$
  \begin{flushright}   $L$ nije regularan jezik  \end{flushright}

\newpage
\Large{
(20) \textbf{zadatak $2$\ } }\\

\medskip
B.Y.O.B je savjesni gra\dj{}anin novonastale dr\v{z}ave P.L.U.C.K, a
usto i matemati\v{c}ar. Jednog dana, on dobije poziv da izvr\v{s}i
svoju domovinsku du\v{z}nost tj. da odslu\v{z}i vojni rok.
(Dr\v{z}ava P.L.U.C.K. ne dozvoljava civilno slu\v{z}enje vojnog
roka, i slu\v{z}enje je, dakako, obavezno) Na\v{s} junak se,
naravno, odaziva pozivu i trenutno se nalazi na vje\v{z}bali\v{s}tu
nestrpljivo o\v{c}ekuju\'c{}i po\v{c}etak vje\v{z}bi. General A.D.D,
voditelj vojnih vje\v{z}bi, ne mo\v{z}e zapo\v{c}eti sa radom dok
nije ustanovio da je na vje\v{z}bama nazo\v{c}no barem onoliko
bijelaca koliko ima crnaca. (general nema rasisti\v{c}kih sklonosti,
ve\'c{} to \'c{}ini zato \v{s}to je P.L.U.C.K dr\v{z}ava
prete\v{z}ito bjela\v{c}kog stanovni\v{s}tva)
Kako se general A.D.D ne bi morao patiti bespotrebnim "na prste" prebrojavanjem ljudi koji su pristupili vje\v{z}bi, B.Y.O.B odlu\v{c}uje konstruirati PDA koji prihva\'c{}a jezik praznim stogom, koji \'c{}e taj posao odraditi umjesto njega. Kako da to u\'c{}ini?\\
 \small{ NAP:\\ \qquad - spolovi su ravnopravni u dr\v{z}avi P.L.U.C.K $\rightarrow$ i \v{z}ene slu\v{z}e vojni rok\\
\qquad  - na\v{s} junak B.Y.O.B je crnac, a general A.D.D bijelac\\
\qquad  - vojnici stoje u vrsti sortirani td prvo idu bijelci, a potom crnci}\\

\bigskip
\underline{Rj:}\\

Neka je $b:=\{bijelac\}$ , $c:=\{crnac\}$ \quad $\Rightarrow$ \quad $l:=\{b^{i} c^{j}~:~i\geqslant j \}$\\ $L$ je jezik koji predstavlja broj ljudi koji su pristupili vojnoj vje\v{z}bi\\
$  \left.
 \begin{array}{l}
<p,b,S,p,bS> \\
<p,b,b,p,bb>
\end{array}\right\} \textrm{petlja koja stavlja "bijelce" na stog}$\\
 $\left. \begin{array}{l}
<p,c,b,q,\varepsilon> \\
<q,c,b,q,\varepsilon>
\end{array}\right\} \textrm{za svakog "crnca" skidamo po jednog "bijelca" sa stoga}$\\
 $ \left. \begin{array}{l}
<q,\varepsilon,b,s,\varepsilon> \\
<s,\varepsilon,b,s,\varepsilon>
\end{array}\right\} \textrm{izbrojali smo sve "crnce", a imamo jo\v{s} "bijelaca" na stogu}$\\

\newpage
\Large{
(20) \textbf{zadatak $3$\ } }\\

\medskip
Na traci turingovog stroja (nadalje TS) zapisan je broj $x$ u sustavu s bazom $7$, $x \in \mathbb{N}$. Glava TS se inicijalno nalazi na msb (najzna\v{c}ajnijoj znamenki broja $x)$. Konstruirajte TS koji dani broj $x$mno\v{z}i sa brojem $2401$ u bazi 10.\\

\bigskip
\underline{Rj:}\\

$$ (2401)_{10}=(7^{4})_{7}=(10000)_{7} $$
$$ \textrm{def. } x:=\{ 1,2,\ldots,6 \} ~ y:=\{ 0,1,\ldots,6 \} ~ b:=\{\textrm{prazan simbol} \}$$
\begin{center}
    \epsfig{file=TS.eps,width=85mm}
\end{center}

\bigskip \medskip
\small { \begin{flushright}Zadatke osmislio, te finalno realizirao
\qquad \qquad Josip Deak \end{flushright}}
\end{document}
