\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}

\textbf{Zadatak:}\\

 Da li je jezik L regularni?\\
 L=$\lbrace 0^{2n}1^{3n}:n \in N\rbrace$\\

\textbf{Rje\v{s}enje:}\\

Pretpostavimo da je jezik $L$ regularan.Po "Lemi o pumpanju",tada postoji $p \in N$ tako da  svaka rije\v{c} $w \in L$ du\v{z}ine ve\'{c}e od $p$ mo\v{z}e biti podjeljena na tri dijela,$w=xyz$,pri \v{c}emu vrijedi:\\
1.)$$\forall i \geq 0 , xy^{i}z \in L$$\\
2.)$$|y| > 0$$\\
3.)$$|xy| < p$$\\
Uzmimo rije\v{c} $w=0^{2p}1^{3p},w \in L$\\
$w=\underbrace{00\cdots 00}_{2p}\underbrace{11\cdots 11}_{3p}$\\
S obzirom da mora biti $|xy| < p$,y dio \'{c}e se sastojati samo od nula,pa pumpanjem y  pove\'{c}avamo broj nula,dok broj jedinica ostaje isti.Ovim je struktura jezika naru\v{s}ena,pa zaklju\v{c}ujemo da $xy^{i}z \notin L$,tj.ne vrijedi Lema o pumpanju,jezik L nije regularan.\\

\textbf{Zadatak:}\\
Konstruiraj PDA koji prepoznaje jezik L koji se sastoji od nizova $wx(w^{c})^{R}$,za $w \in (0 + 1)^{\star} , (w^{c})^{R}$ obrnuto napisani jedini\v{c}ni komplement niza w.\\

\textbf{Rje\v{s}enje:}\\
$\langle citaj,0,\varepsilon,citaj,0 \rangle$\\
$\langle citaj,1,\varepsilon,citaj,1 \rangle$\\
$\langle citaj,x,\varepsilon,brisi,\varepsilon \rangle$\\
$\langle brisi,0,1,brisi,\varepsilon \rangle$\\
$\langle brisi,1,0,brisi,\varepsilon \rangle$\\

\textbf{Zadatak:}\\
Konstruiraj TS koji prepoznaje rije\v{c}i jezika L=$\lbrace a^{m+2}b^{n+1}:n,m \in N \rbrace$.\\

\textbf{Rje\v{s}enje:}\\


TS:\\
\includegraphics[width=10cm,height=10cm]{TS.jpg}\\


\end{document}
