\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancybox}
\begin{document}

\begin{enumerate}
\item
Da li je jezik $L=\{ a^nb^{2n}c^{3n}\text{ : }n\in\mathbb{N}\}$ regularan?\\
\\
\shadowbox{\textbf{Rješenje}}\\
Pretpostavimo da je $L$ regularan. Tada prema lemi o pumpanju postoji $n\in\mathbb{N}$ takav da za sve $k\geq n$ postoje $x$, $y$, $z$ takvi da je
\begin{itemize}
\item $a^kb^{2k}c^{3k}=xyz$
\item $|y|>0$
\item $|xy|\leq 6n$
\item $\forall i\geq 0\text{, } xy^iz\in L$
\end{itemize}
Za $y$ imamo slijedeće slučajeve:
\begin{enumerate}
\item
$y=a^l$, $l\in\mathbb{N}$. Tada bi dobili da je $a^{t+il}b^{2k}c^{3k}\in L$, $\forall i\in\mathbb{N}$, a to je nemoguće.
\item
$y=a^{l_1}b^{l_2}$, $l_1,l_2\in\mathbb{N}$. Taj slučaj je također nemoguć, jer bi u $xy^iz$, za $i\geq 2$ imali znak $a$ koji dolazi nakon znaka $b$.
\item
$y=b^l$, $l\in\mathbb{N}$. Tada bi dobili $a^kb^{t+il}c^{3k}\in L$, $\forall i\in\mathbb{N}$, a to je nemoguće.
\item
$y=b^{l_1}c^{l_2}$, $l_1,l_2\in\mathbb{N}$. Slično kao i u (b), dobili bi $b$ nakon $c$ u $xy^iz$, $i\geq 2$.
\item
$y=c^l$, $l\in\mathbb{N}$. Tada bi bilo $a^kb^{2k}c^{il+t}\in L$, $\forall i\in\mathbb{N}$, a to je opet nemoguće.
\end{enumerate}
Prema tome, $L$ nije regularan jezik.
\\
\item
Naći PDA koji prepoznaje jezik 
\[L=\{\omega\in (a+b+c)^*\text{ : }|\omega|_a=|\omega|_b+|\omega|_c\}.\]
\shadowbox{\textbf{Rješenje}}\\
$\langle q_0,a,S,q_0,aS\rangle$\\ 
$\langle q_0,b,S,q_1,bS\rangle$\\
$\langle q_0,c,S,q_1,bS\rangle$\\
$\langle q_0,a,a,q_0,aa\rangle$\\
$\langle q_0,b,a,q_0,\varepsilon\rangle$\\
$\langle q_0,c,a,q_0,\varepsilon\rangle$\\
$\langle q_1,a,b,q_0,\varepsilon\rangle$\\
$\langle q_1,b,b,q_1,bb\rangle$\\
$\langle q_1,c,b,q_1,bb\rangle$\\
\item
Konstruirati Turingov stroj koji prepoznaje jezik
\[ L=\{ \omega\in (a+b)^* \text{ : } |\omega|_a=n\text{, }|\omega|_b=n+1\text{, } n\geq 0\}\]
\shadowbox{\textbf{Rješenje}}\\
$\Sigma =\{a,b\}$, $\Gamma =\{ \Lambda , x,a,b\}$, $Q=\{ q_1,A,B,B',AB,ACCEPT,REJECT\}$\\
$q_1$ - početno stanje\\
$ACCEPT$ - prihvaćajuće stanje\\
$REJECT$ - odbijajuće stanje\\
Početna pozicija TS-a se nalazi krajnje lijevo na traci. Za tranzitnu funkciju $\delta$ vrijedi slijedeće:\\
$\delta (q_1,a)=(A,x,D)$\\
$\delta (q_1,b)=(B,x,D)$\\
$\delta (q_1,x)=(q_1,x,D)$\\
$\delta (q_1,\Lambda)=(REJECT,\Lambda ,S)$\\

$\delta (A,a)=(A,a,D)$\\
$\delta (A,b)=(AB,x,D)$\\
$\delta (A,x)=(A,x,D)$\\
$\delta (A,\Lambda)=(REJECT,\Lambda , S)$\\

$\delta (B,a)=(AB,x,D)$\\
$\delta (B,b)=(B',b,D)$\\
$\delta (B,x)=(B,x,D)$\\
$\delta (B,\Lambda)=(ACCEPT,\Lambda ,S)$\\

$\delta (B',a)=(AB,x,D)$\\
$\delta (B',b)=(B',b,D)$\\
$\delta (B',x)=(B',x,D)$\\
$\delta (B',\Lambda)=(REJECT,\Lambda ,S)$\\

$\delta (AB,a)=(AB,a,L)$\\
$\delta (AB,b)=(AB,b,L)$\\
$\delta (AB,x)=(AB,x,L)$\\
$\delta (AB,\Lambda)=(q_1,\Lambda ,D)$\\
\end{enumerate}

\end{document}
