\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\begin{document}
\noindent \large{(10) \textbf{Zadatak 1.}\ \emph{Da li je jezik
$L = \{a^nb^{2n} | n \geq 0 \}$ regularan?} \\
\\
Pomo\'{c}u LOP pokazat \'{c}emo da jezik nije regularan. \\
\\
a) Pretpostavimo da je jezik L regularan. Tada postoji duljina
pumpanja $p \in N$.\\
\\
b) Odaberimo $w = a^pb^{2p}$\\
\\
c) Tada w mo\v{z}emo podijeliti u 3 dijela:\\ $w = xyz$ tako da je
$|xy| \leq p$ i $|y| > 0$\\
\begin{center}$\overbrace{aa\dots aa}^{p} \overbrace{bb\dots
bb}^{2p}$\end{center} Zbog $|xy| \leq p$, $y$ dio se sastoji samo od
$a$-ova. Odnosno,
mo\v{z}emo zapisati:\\
$x = a^t , t < p$\\
$y = a^k , k \leq p$ i $(t+k) \leq p$\\
$z = a^{(p-t-k)}b^{2p}$\\
te je tada $w = xy^{i}z = a^t(a^k)^i(a^{p-t-k}b^{2p})$\\
\\
d) Stavimo li $i = 0$ imamo:  $w = a^{p-k}b^{2p}$, \v{s}to se
zapravo ne nalazi u jeziku $L$. Jezik $L$ nije regularan.\\
\\


\noindent \large{(10) \textbf{Zadatak 2.}\ \emph{Prona\dj{}ite PDA koji prepoznaje jezik\\
$L = \{ w \in (a+b)^* : |w|_a = |w|_b\}$.}\\
\\
$<q_0, a, S, q_0, 0S>$\\
$<q_0, b, S, q_0, 1S>$\\
$<q_0, a, 0, q_0, 00>$\\
$<q_0, b, 0, q_0, \varepsilon>$\\
$<q_0, a, 1, q_0, \varepsilon>$\\
$<q_0, b, 1, q_0, 11>$\\
$<q_0, \varepsilon, S, q_1, S>$\\
\newpage


\noindent \large{(10) \textbf{Zadatak 3.}\ \emph{Konstruirajte Turingov stroj koji prepoznaje jezik\\
\begin{center}$L = \{1^{3n} | n\geq 1\}$. \end{center}
Nije poznato gdje se na po\v{c}etku nalazi glava stroja.}\\

\includegraphics{automat1.png}


\end{document}
